描述实际控制系统中某物理环节的输入与输出关系时，采用的是（）。

A 、输入与输出信号

B 、输入与输出信息

C 、输入与输出函数

D 、传递函数

参考答案:

【正确答案：D】

实际控制系统中所出现的信号，当通过某一环节传递时其大小和状态都要发生变化，但其输出与输入有一定的函数关系，在控制理论中，描述环节的输出和输入关系的特性公式是指传递函数。

传递函数的定义

在工程中，传递函数（也称系统函数、转移函数或网络函数，画出的曲线叫做传递曲线）是用来拟合或描述黑箱模型（系统）的输入与输出之间关系的数学表示。 通常它是零初始条件和零平衡点下，以空间或时间频率为变量表示的线性时不变系统（LTI）的输入与输出之间的关系。然而一些资料来源中用“传递函数”直接表示某些物理量输入输出的特性，（例如二端口网络中的输出电压作为输入电压的一个函数）而不使用变换到S平面上的结果。传递函数通常用于分析诸如单输入、单输出的滤波器系统中，主要用在信号处理、通信理论、控制理论。这个术语经常专门用于如本文所述的线性时不变系统（LTI）。实际系统基本都有非线性的输入输出特性，但是许多系统在标称参数范围内的运行状态非常接近于线性，所以实际应用中完全可以应用线性时不变系统理论表示其输入输出行为。简单说明一下，下面的描述都是以复数为变量的。在许多应用中，足以限定(于是)，从而将含有复参数的拉普拉斯变换简化为实参的傅里叶变换。那么，对于最简单的连续时间输入信号和输出信号来说，传递函数所反映的就是零状态条件下输入信号的拉普拉斯变换与输出信号的拉普拉斯变换之间的线性映射关系：或者在离散时间系统中，应用Z变换，传递函数可以类似地表示成这常常被称为脉冲传递函数。从微分方程直接推导考虑一个常系数线性微分方程其中 u 和 r 是 t 的适当的光滑函数。L 是相关函数空间上定义的，将 u 变换为 r 的算子。这种方程可以用于以强迫函数 r 为变量约束输出函数 u 。传递函数写成算子的形式，是 L 的右逆，因为。这个常系数齐次微分方程的解可以通过尝试找到。这个代换会产生特征多项式在输入函数 r 的形式也为的时候，非齐次的情形也可以很容易的解决。在那种情况下，通过代入就可以发现当且仅当把那当作传递函数的定义需要注意区分实数和复数的差异。这是受到 abs(H(s)) 表示增益，而用 -atan(H(s)) 表示相位滞后惯例的影响。传递函数的其他定义还有例如。

高分求计算机控制技术大作业

我会，到我寝室。

2.4 控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式

控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。

2.4.1 方块图元素

（1）方块（Block Diagram）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。

信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。

（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point

两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。

“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。

注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。

(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point

表示信号测量或引出的位置

注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。

2.4.2 几个基本概念及术语

(1) 前向通路传递函数 假设N(s)=0

打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。

(2) 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer Function假设N(s)=0

主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。

(3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0

主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。

(4) 闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0

输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。

推导：因为

右边移过来整理得

即

(5) 误差传递函数 假设N(s)=0

误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。

将 代入上式，消去G(s)即得：

(6) 输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0

图2-18 输出对扰动的结构图

由图2-18，利用公式，直接可得：

(7) 误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0

图2-19 误差对扰动的结构图

由图2-19，利用公式，直接可得：

线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：

注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。

2.4.3 方块图的绘制

（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。

（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。

系统方块图-也是系统数学模型的一种。

例2-8 画出下列RC电路的方块图。

图2-20一阶RC网络

解：由图2-20，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：

对其进行拉氏变换得：

由（1）和（2）分别得到图（b）和(c)。

将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。

例2-9 画出下列R-C网络的方块图。

解：

（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；

（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；

（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。

图2-21 二阶RC网络

根据公式(1)~(4)，分别画出对应的方块图，如图(c)中虚线框所示。

由图清楚地看到，后一级R2-C2网络作为前级R1-C1网络的负载，对前级R1-C1网络的输出电压 产生影响，这就是负载效应。

如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如图(b)所示。

2.4.4 方块图的简化——等效变换

为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。

（1）串联连接

?图2-23 环节的串联连接

在控制系统中，常见几个环节按照信号的流向相互串联连接。

特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。

结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。

式中，n为相串联的环节数。

（2）并联连接

图2-24 环节的并联连接

特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和，即:

结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。即：

式中，n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。

（3）反馈连接

图2-25 环节的反馈连接

（4）比较点和分支点（引出点）的移动

有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

?放大?缩小 ?缩小?放大

? ?

图2-26 比较点移动示意图

? ?

? ?

右 左

图2-27 分支点移动示意图

例2-10 用方块图的等效法则，求图2-28所示系统的传递函数C(s)/R(s)。

图2-28 多回路系统方块图

解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。

串联和并联

反馈公式

反馈公式

例2-11 将例2-9的系统方块图简化。

分支点A后移（放大->缩小），比较点B前移（放大->缩小）。比较点1和2交换。

图2-29 方块图的简化过程

2.4.5 信号流图和梅逊公式（S?J?Mason）

方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。

2.4.5.1信号流图中的术语

图2-30 信号流图

输入节点：具有输出支路的节点。图2-30中的 。

输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图2-30中的 。

混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如图2-30中的

前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。

①

②

③

前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 用 表示。

回路：起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。

（闭通路） ， ，

， ，

，

回路中所有支路的乘积称为回路增益，用 表示。

不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。

在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。

例如： 和

和

信号流图的性质

① 信号流图适用于线性系统。

② 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。

③ 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支

路。

④ 具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。

⑤ 对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。

2.4.5.2 信号流图的绘制

⑴ 由微分方程绘制 方程，这与画方块图差不多。

⑵由系统方块图绘制。

例2-12 书上例2-18，见书 （第三版P56） 图2-31(画出2-43)所示系统方块图的信号流图。

解：①用小圆圈表示各变量对应的节点

②在比较点之后的引出点 ，只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。

③在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的 。

证明：

2.4.5.3

式中系统总增益（总传递函数）

前向通路数

：第k条前向通路总增益

信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是 ，变化的只是其分子。

其中： ――所有不同回路增益乘积之和；

――所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；

…

――所有任意m个不接触回路增益乘积之和。

为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值，称为第k条前向通路特征式的余因子。

例2-13 求图2-33（a）所示信号流图的总增益

图2-33 信号流图

例2-14 利用Mason’s gain formula 求图2-34所示系统的闭环传递函数。

图2-34 某系统的信号流图

解：前向通路有3个

4个单独回路

互不接触

例2-14 系统的方块图如2-35所示，试画出信号流图，并用梅逊公式求系统的传递函数 。

只有一个前向通路

有三个独立回路

没有两个及两个以上的互相独立回路

第三章 线性系统的时域分析法

3.1 引言

分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。

实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解释的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。

在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。

许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初使条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在差一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。

3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号：

① 实际系统的输入信号不可知性

② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系

③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。

突然受到恒定输入作用或突然的绕动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。

（单位）阶跃函数（Step function）

室温调节系统和水位调节系统

（单位）斜坡函数（Ramp function） 速度

（单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线

（单位）脉冲函数（Impulse function）

正弦函数（Simusoidal function）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时

通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统对非周期信号（Step、Ramp、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）

3.1.2 动态过程和稳态过程

瞬时响应和稳态响应 Transient Response &ampSteady_state Response

在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。

1 瞬态响应 指系统从初使状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。

2 稳态响应 是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入量最终复现输入量的程度。

3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差

Absolute Stability , Relative Stability ,Steady_state Error

在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。

实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。本章不讨论非线性系统的稳定性。

绝对稳定性是前提。

?相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。陈动态过程。

?稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。这个误差表示系统的准确度。

在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如直到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。

?动态性能指标：

在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初使条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。

实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为尊振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。

稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。图3-2

① 延迟时间 ：（Delay Time）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。

② 上升时间 （Rise Time）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。

③ 峰值时间 （Peak Time）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。

④ 调节时间 （Settling Time）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。

⑤ 最大超调量 （Maximum Overshoot）：指响应的最大偏离量h(tp)于终值 之差的的百分比，即

或 评价系统的响应速度； 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 评价系统的阻尼程度。

线性时不变系统的状态反馈控制器设计

前面一篇博客介绍了基于状态空间模型的系统分析。本篇博客将针对线性时不变系统，基于状态空间模型并根据系统的性能要求来设计控制系统。

一个系统的控制方式有 开环控制和闭环控制 。开环控制指的是把一个确定的控制信号（关于时间的函数）加到系统的输入端，使得系统具有某种期望的性能，如稳定的跟踪某个参考输入或者使系统的状态达到某个特定值，等等。上一篇博客讲的系统的能控性就是利用了开环控制，即存在一个特定的控制作用（开环控制）使得系统在有限时间内，从初始状态转移到零状态。

然而，由于建模存在的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素，使得我们没办法获得实际物理系统的真实动态方程，我们能得到的仅仅是粗略的低阶的名义模型或有时又称标称模型。因此在对实际系统的控制过程中，若不能根据系统当前的运行状况及时修改系统的行为，而仍按照名义模型设计的开环控制作用会使得实际系统产生一些意想不到的情况，很难使实际物理系统按我们原先所期望的方式运行。因此， 我们必须根据系统的运行状况实时地来确定控制信号而不是采用预先设计好的控制信号，这就是反馈控制（feedback control）。

在经典控制理论中，我们依据描述对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统的可测量输出作为反馈信号。而现代控制理论则是用刻画系统内部特征的状态空间模型来描述对象，出了可测量的输出信号外，还可以用系统的内部状态来作为反馈信号。 根据可利用的信息是系统的输出还是状态，相应的反馈控制可分为输出反馈和状态反馈。

本篇博客以状态空间模型描述的线性时不变系统为研究对象，介绍状态反馈控制器的一些设计方法。首先介绍反馈控制的种类、结构及其对系统性能的影响。进而介绍改善系统动态性能的极点配置方法，提出极点配置状态反馈控制律的设计算法。针对极点配置方法可能影响系统稳态性能的问题，介绍了实现精确跟踪的控制系统设计方法。

控制系统由被控对象和控制器（controller）两部分组成。状态刻画了对象内部的全部动态信息，输出仅仅是状态的一部分，从而用系统的全部状态信息来构造反馈控制器，渴望使系统获得更优异的性能。然而，要获得系统的全部状态信息，意味着需要更多的传感器，从而增加了控制系统的成本。另一方面，一个系统的状态变量未必都是可测量的物理量，这使得状态反馈控制在实际中往往难以实现。因此，在实际控制系统应用中，究竟采用输出反馈还是状态反馈视具体情况而定。

我们考虑以下状态空间描述的线性系统：

其中， 是系统的 维状态空间， 是系统的 维控制输入， 是系统的 维测量输出， 和 分别是适当维数的已知常数矩阵。

一般的反馈控制系统具有以下所示结构：

其中， 是 维的外部参考输入。控制器可以是一个 动态补偿器 （例如在控制器中包含动态过程），也可以是一个 静态反馈控制器 。控制器的输入可以是系统的状态，也可以是系统输出。若系统的状态是可直接测量得到的，则结构最简单、包含对象信息量最多的反馈控制方式是 线性时不变的静态状态反馈控制 （简称状态反馈）。

其中， 为 维的静态常数矩阵，称为 状态反馈增益矩阵 。将上式代入状态空间模型，可得 闭环系统的状态空间模型 ：

输出反馈控制在这里就不展开了，处理方式和状态反馈控制类似， ，只是反馈信息在这里采用系统输出 。

从闭环系统的状态空间模型可以看出：状态反馈和输出反馈均改变了闭环系统的状态矩阵，即系统由原来的 变为了现在的 或 。而闭环系统的动态行为主要由其状态矩阵的特征值（即闭环极点）决定，因此可以通过选择适当的反馈增益矩阵 和 ，使得闭环系统状态矩阵的特征值都在左半开复平面内，从而保证闭环系统的渐进稳定性。更进一步，还可以使得闭环状态矩阵特征值位于左半开复平面的特殊位置上，从而不仅保证系统是渐近稳定的，而且还具有一定的过渡过程特性。

除了能改变闭环系统的状态矩阵，从而改变闭环系统的稳定性和瞬态特性外，状态反馈控制对系统性能还有什么其他的影响呢？给出以下两个定理进行说明。

若原系统是能控的，则加入状态反馈控制后的闭环系统仍然是能控的。需要注意的是，原系统如果是能观的，但采用状态反馈控制后得到的闭环系统却不一定能观，因此状态反馈并不能保持原系统的能观性。这是因为状态反馈在改变系统极点的同时，可能使得闭环系统出现 零极点相消现象 。零极相消导致系统的能控性或能观性，或能控能观性的破坏，由于闭环系统仍然能控，故它不再可能是能观的。

其中， 是被控系统的传递函数矩阵， 是动态补偿器的传递函数矩阵。静态的输出反馈虽然结构简单，信息上的获取也没有任何困难，但可以证明：这种形式的输出反馈所能达到的系统性能是有限的，有时甚至都不能保证闭环系统稳定。

稳定是一个系统正常运行的首要条件。上一篇博客分析了一个系统的稳定性，并给出了系统稳定的李雅普诺夫判别方法。若一个系统不稳定，则必须运用外部控制手段来设法让其稳定，这就是系统的镇定问题（stabilization），使得系统稳定的控制器称为稳定化控制器（stabilizing controllers）。

控制手段往往采用反馈控制。上一节介绍了反馈控制系统的结构，其中最简单，包含对象信息最多的控制结构就是 静态线性状态反馈控制 。本节将介绍基于李雅普诺夫稳定性理论的稳定化状态反馈控制器设计方法。

考虑以下状态方程描述的系统：

我们的目标是要设计一个能使系统状态稳定的稳定化状态反馈控制器：

由该控制器导出的闭环系统：

本节的目的是要给出确定增益矩阵 的方法，使得闭环系统是渐近稳定的。由于闭环系统是一个线性时不变系统，根据李雅普诺夫稳定性定理，系统渐近稳定的充分必要条件是存在一个二次型的李雅普诺夫函数 ，其中的 是特定的对称正定矩阵。可以通过沿着闭环系统的任意轨迹，使得标量二次型李雅普诺夫函数 关于时间的导数是负定的来确定对称正定矩阵 和增益矩阵 ，从而得到所要的稳定化状态反馈控制器。沿这一思路，介绍两种处理方法来确定对称正定矩阵 和增益矩阵 。

考虑标量函数 ，其中 是待定的对称正定阵。沿闭环系统的任意轨迹， 关于时间的导数为：

由 ，可得

故

我们选取控制 具有以下结构形式：

则

进一步，若选取正定对称矩阵 使得

即 ，李雅普诺夫函数关于时间的导数小于零（表明随着时间的增加能量是不断衰减的）。根据李雅普诺夫稳定性定理，标量二次型函数 是闭环系统的一个李雅普诺夫能量函数。因此，该闭环系统是渐近稳定的。式 就是原系统的一个稳定化状态反馈控制器。

根据以上分析， 稳定化控制器的设计问题就转化为了矩阵方程：

是否存在一个对称正定解矩阵（李雅普诺夫矩阵） 的问题。若存在这样的 ，那么即可得到一个稳定化控制器增益矩阵 。而该矩阵方程被称为系统的 黎卡提（Riccati）矩阵方程 ，这类矩阵方程在自动控制中起着很重要的作用，在最优控制中还将遇到这类方程（李雅普诺夫函数就是最优控制中的值函数）。这种基于求解黎卡提矩阵方程的稳定化控制器设计方法称为 黎卡提方程处理方法。

若对给定的 ，黎卡提矩阵方程有一个对称正定解矩阵 ，则对任意的 ，

因此，对任意的 ， 都是系统的稳定化控制律。由此可知，稳定化控制律 具有 正无穷大的稳定增益裕度（margin） 。这在实际应用中将非常有用，当我们不知道精确的 时，我们尽量选择具有较高增益的控制律，使得实际控制系统在保持稳定的同时能够满足其他性能要求。

根据线性时不变系统李雅普诺夫稳定性定理，闭环系统渐近稳定的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵 ，使得：

因此，稳定化控制器的设计问题归结为寻找一个矩阵 和一个对称正定矩阵 ，使得上述矩阵不等式成立，即以矩阵 和 为变量的矩阵不等式的求解问题。

在上述矩阵不等式中， 矩阵变量 和 以非线性的形式耦合在一起。 因此，要直接求解这样一个矩阵不等式是不容易的。以下通过引进一个适当的变量替换，将非线性矩阵不等式转换成一个等价的关于新变量的线性矩阵不等式，从而可以应用求解线性矩阵不等式的方法求解所导出的线性矩阵不等式。首先将矩阵不等式整理为：

由于矩阵 是对称的，故在上式两边分别左乘和右乘矩阵 ，可得：

记 ， ，则从上式进一步可得：

显然，上述不等式是一个关于矩阵变量 和 的线性矩阵不等式。由于矩阵 的正定性等价于矩阵 是正定的。因此，若线性矩阵不等式系统

是可行的，则系统存在稳定化控制器。进一步，若矩阵变量 和 是线性矩阵不等式系统的一个可行解，则 是系统的一个稳定化状态反馈增益矩阵， 是相应闭环系统的一个李雅普诺夫矩阵。

以上用线性矩阵不等式系统的可行性给出了系统的稳定化状态反馈控制器存在条件，在线性矩阵不等式系统可行的情况下，用其可行解给出了稳定化控制器的构造方法。这种处理方法已在各类控制系统的设计中得到了广泛应用， 和黎卡提方程处理方法相比，线性矩阵不等式处理方法具有保守性低、处理方便、易于结合其他性能要求设计多目标控制器等优点。

上一节介绍了基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化状态反馈控制器的两种方法。然而，在实际控制系统设计中，仅仅保证闭环系统的稳定性还是不够的，通常还需要使得闭环系统具有一定的过渡过程性能，如较快的响应速度，较短的调节时间，较小的超调，等等。如何设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统同时具有期望的稳态和动态性能，本节给出了一种极点配置的方法（ 需要注意的是不单单只有极点配置这一种方法，还有其他设计方法也能满足兼具稳态和动态性能要求，比如最优控制 ）。

极点配置的主要思路就是通过寻找适当的状态反馈增益矩阵 ，使得闭环系统极点（即矩阵 的特征值）位于预先给定的位置。极点配置具体设计方法在这里不再赘述，这里只给出一个定理。

由于求解一个极点配置问题需要大量的计算，特别对于多变量系统更是如此，另一方面，描述对象的模型总是近似和不精确的，从而要实现精确极点配置的方法是难以实现的。 在实际控制系统应用中，我们往往还需采用其他更简便、有效的设计方法。

通过以上的分析，理论上我们可用状态反馈的方式实现了闭环系统的极点配置，从而使得闭环系统具有满意的稳态和动态性能。然而，实际应用中，状态反馈这种方法并非总是可行的。一方面，状态反馈实际上是一个 或 补偿器，这样的控制器 具有无限带宽 ，而实际的执行机构总是只有有限带宽（对超过带宽频率范围的信号是没办法响应的）。另一方面，在实际中，要检测到所有的状态往往是困难的，甚至是不可能的，因此有必要研究只利用系统测量输出的极点配置问题，以后的博客将给出一种基于状态观测器的输出反馈控制器设计方法。

如果系统有多个输入，则使得闭环系统具有给定极点的状态反馈增益矩阵 是不唯一的，从而有更多的自由度去选择满足闭环极点要求的 。如何利用这些自由度，使得闭环系统具有给定的极点外，还具有一些其他附加性能是需要进一步探讨的问题，这就是 多目标控制 。一种方法就是在使得闭环系统具有给定极点的同时， 闭环系统的稳定裕度最大化（Margin Maximization） ，基于这种思想进行的极点配置称为是鲁棒极点配置方法。

通过重新配置闭环系统极点，尽管改善了闭环系统的稳定性和动态特性，但有可能使得闭环系统产生稳态误差 （稳态误差在这指的是系统的稳态输出与参考输入之间的偏差） ，导致系统的稳态性能变差。或者说极点配置方法可能会使一个原来没有稳态误差的系统产生稳态误差。那么是否存在一种方法使得改善系统动态特性的同时保证系统的稳态性能不变坏呢（保证系统输出与参考输出无静差）？

另一方面，实际系统还不可避免地存在 外部扰动 。外部扰动信号可分为随机性的高频扰动和确定性扰动两大类。随机性扰动具有随机噪声特性，通常只知道它的一些统计特性，如均值和方差等。确定性扰动具有确定的函数形式，如阶跃函数、斜坡函数、正弦函数等。在实际中，许多系统都存在确定性的扰动，如阵风对雷达系统的扰动，海浪对正常航行的船体控制系统的扰动，飞行系统在大气中受到气浪的扰动等。 这些扰动都具有确定的函数表达式，可以通过动力学分析或辨识学习的手段来确定函数关系式中未知的参数。

在这里我们只讨论确定性扰动。 扰动的存在使得系统在稳态时不能很好地跟踪参考输入，从而产生稳态误差。因此，必须对扰动进行补偿，以克服扰动对系统稳态性能的影响 （扰动影响稳态精度）。

在诸如数控机床、导弹制导等许多实际控制系统中，常常要求闭环系统的输出以给定的精度跟踪参考输入信号，实现精确的跟踪控制。然而以上分析又说明了 极点配置状态反馈和外部扰动 都可能 影响系统输出跟踪参考输入的效果 。那么该如何设计使得闭环系统不仅具有期望的过渡过程特性，而且在扰动的作用下，还能实现精确（稳态精度）的跟踪控制？

接下来将针对 具有外部阶跃扰动的线性时不变系统 ，提出一种能实现无静差跟踪阶跃参考输入信号的 抗干扰渐近跟踪调节器设计方法 。考虑以下状态空间模型描述的系统：

其中， 是 维的扰动输入， 是 维系统量测输出。假定系统的参考输入是阶跃输入 ， 是阶跃扰动 ，其中的 和 是阶跃信号的幅值向量。控制作用的目的是在存在扰动 的情况下，仍希望闭环系统的输出 能很好地跟踪参考输入 。

在经典控制理论中，用 偏差的积分 来抑制或消除单输入单输出系统的稳态误差，这样一种思想也可以推广到多输入多输出系统。为此，定义偏差向量：

引入偏差向量的积分 ：

注意到 和输出向量 具有相同的维数，因此它由 个积分组成，每个积分器的输入是偏差向量的一个分量（或者说是一维坐标值）：

由于在控制回路中增加了 个积分器，因此增加了整个系统的动态特性，而 是这些积分器的输出，故可以通过将 作为附加状态向量(经积分累加后输出的量是不可以突变的，是关于时间的动态量，因此 可以作为系统扩张状态) ，得到描述整个系统动态行为的状态空间模型：

新的状态向量空间是 维的，称上述状态空间模型为 增广系统的状态空间模型。

对上述增广系统，若能设计一个状态反馈控制器：

使得闭环系统：

是渐近稳定的，即闭环系统状态矩阵：

的所有特征值均在左半开复平面中，从而该矩阵也是非奇异的。由于参考输入和外部扰动都是阶跃信号。因此当时间趋向于无穷时， 和 都趋向于常值向量，这表明 和 都必将趋于零。又因为 ，故当 趋于无穷时 ，从而实现精确的跟踪控制。

以上分析说明了只要 对上述增广系统设计一个稳定化状态反馈控制器 ，就可以保证系统的输出跟踪阶跃参考输入且没有稳态误差。我们的做法是通过人为引入一个新的状态向量 （对误差信号的积分）来克服阶跃扰动 对系统输出带来的影响（从增广系统的状态空间模型中可以很清楚的看到 是如何克服扰动影响的）。进一步，我们还可以通过状态变量 的稳态值估计出系统的干扰。

如果还要使得闭环系统具有一定的动态特性（比如缩短调节时间），则可以通过适当配置增广系统的闭环极点来实现，但这要求增广系统是完全能控的。下面给出一个定理：

定理说明， 表明控制输入的个数不能小于输出的个数，而 则意味着所有的测量输出必须是线性无关或者说是独立的。

增广系统的状态反馈控制器可以写为：

上式中的第一项 是原系统的状态反馈，而第二项是为了改善稳态精度而加入的积分控制作用。因此， 这是一个由被控对象的状态反馈和偏差向量的积分所组成的复合控制，相当于一个比例积分控制器 。这样一个反馈控制系统的结构如下图所示：

由以上分析可知，对于一个多变量系统，尽管有一个未知（不能测量）的阶跃扰动输入，但仍可以设计一个控制器，使得闭环系统的输出能无静差地跟踪阶跃参考输入。一般情况下， 引入积分器会使闭环增广系统响应变慢（因为增广后的系统又增加了动态环节） 。类似于经典控制理论中通过加大反馈增益来加快系统响应速度的方法，对由状态空间模型描述的多变量系统，可根据闭环系统的过渡过程要求按极点配置方法来确定状态反馈增益矩阵。

若参考输入是一个包含 的多项式，则可以通过增加积分器的方法来处理。对能直接测量（或能够被估计）的外部扰动，可采用前馈控制的方式进行补偿。